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自然数幂和

时间:2019-06-30 00:20:57      阅读:16      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:基本   个数   构造   通过   计算   inline   i+1   假设   现在   

一个看起来特别高大上实际上也非常高大上的东西qwq

我们要计算的是:\(\sum_{i=1}^{n} i^k\)

现在我们假设k已经确定,令原式=f(n)

通过观察我们发现原式是一个k次多项式,考虑求出他的表达式,由代数基本定理可得只要求出k个点的值就可以唯一确定原多项式(至于怎么确定请看后文),接下来考虑我们二话不说先求一波值,因为只要带入k个数(1~k)就可以了,设这些点为\((x_i,y_i)\)

那么原多项式=\(\sum_{i=1}^{k} y_i \times g(i)\),g(i) = \(\Pi_{j=1,j!=i}^{k} \frac{k-x_j}{x_i-x_j}\) (神仙构造)

接下来我们发现:\(g(x)=(?1)^{d?i} \times\frac{n(n?1)…(n?i+1)(n?i?1)…(n?d)}{i!(d?i)!}\) ,通过恰当的预处理可以求出

例题(LuoguP5437)

\(\frac{n}{2} \sum{i=1}{n} \sum{j=i+1}^{n} (i+j)^k\)

自然数幂和

标签:基本   个数   构造   通过   计算   inline   i+1   假设   现在   

原文地址:https://www。cnblogs。com/tyqtyq/p/11108287。html

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